PROPOSISI
1. Pernyataan (Proposisi)
Di
dalam matematika, tidak semua kalimat berhubungan dengan logika. Hanya kalimat
yang bernilai benar atau salah saja yang digunakan dalam penalaran. Kalimat
tersebut dinamakan proposisi(preposition).
Sebuah proposisi(proposition)
atau statement ialah sebuah kalimat deklaratif yang memiliki
tepat satu nilai kebenaran, yaitu:”Benar”(B) atau ”Salah”(S).
Kalimat tanya atau kalimat perintah
tidak dianggap sebagai pernyataan.
Berikut ini adalah beberapa contoh
proposisi :
a.
1 + 2 = 3
b.
Presiden RI tahun 2005 adalah
SBY
c.
6 adalah bilangan prima
d.
Warna bendera RI adalah biru dan
merah
Kalimat-kalimat
di atas adalah kalimat proposisi karena dapat diketahui benar/salahnya. Kalimat
(a) dan (b) bernilai benar, sedangkan kalimat (c) dan (d) bernilai salah.
Kalimat-kalimat berikut bukan
pernyataan :
1.
x + 2 = 10.
2.
Minumlah sirup ini dua kali sehari.
3.
Alangkah cantiknya gadis itu!
2. Mengkombinasikan Proposisi
Kita
dapat membentuk proposisi baru dengan cara mengkombinasikan satu atau lebih
proposisi. Operator yang digunakan untuk mengkombinasikan proposisi
disebut operator logika.
Operator logika dasar yang digunakan adalah dan (and),atau (or),
dan tidak (not).
Dua operator pertama dinamakan operator biner karena operator tersebut mengoperasikan dua buah
proposisi, sedangkan operator ketiga dinamakan operator unerkarena ia hanya membutuhkan satu
buah proposisi.
Proposisi baru yang diperoleh dari
pengkombinasian tersebut dinamakan proposisi
majemuk (compound proposition). Proposisi yang bukan
merupakan kombinasi proposisi lain disebut proposisi atomik. Dengan kata lain, proposisi majemuk disusun dari
proposisi-proposisi atomik. Metode pengkombinasian proposisi dibahas oleh
matematikawan Inggris yang bernama George Boole pada tahun 1854 di dalam
bukunya yang terkenal, The Laws of Thought. Proposisi majemuk
ada tiga macam, yaitu konjungsi, disjungsi, dan ingkaran.
Misalkan p dan q adalah proposisi.
·
Negasi
Untuk sembarang proposisi, p, yang
memiliki nilai kebenaran, B/S, maka negasinya ditulis sebagai, ~p,
memiliki nilai kebenaran lawannya, S/B.
Berikut ini adalah contoh negasi :
p : Palembang adalah ibukota propinsi
Sumatera Selatan.
~p : Tidak benar Palembang
adalah ibukota propinsi Sumatera Selatan.
Atau
Palembang bukan ibukota propinsi
Sumatera Selatan.
Di sini ~p salah
karena p benar.
Tabel Kebenaran Dari Negasi :
|
p
|
~p
|
|
B
|
S
|
|
S
|
B
|
·
Konjungsi
Konjungsi p dan q dinyatakan
dengan, pΛq, adalah sebuah proposisi yang bernilai benar
jika proposisi p dan q keduanya bernilai benar.
Berikut ini adalah contoh konjungsi
:
p : Hari ini hari Sabtu.
q : Matahari bersinar cerah.
pΛq : Hari ini hari Sabtu dan matahari berinar
cerah.
Tabel Kebenaran
Dari Konjungsi :
|
p
|
q
|
p ^ q
|
|
B
|
B
|
B
|
|
B
|
S
|
S
|
|
S
|
B
|
S
|
|
S
|
S
|
S
|
·
Disjungsi
Disjungsi p dan q dinyatakan
dengan, p vq, adalah proposisi yang bernilai salah jika proposisi
p dan q keduanya bernilai salah.
Berikut ini adalah contoh disjungsi
:
p : Hari ini hari Sabtu.
q : Matahari bersinar cerah.
p vq : Hari ini hari Sabtu
atau matahari berinar cerah.
Tabel Kebenaran
Dari Disjungsi :
|
p
|
~p
|
|
B
|
S
|
|
S
|
B
|
1. Hukum-hukum Logika Proposisi
Dalam logika proposisi terdapat
beberapa hukum atau sifat operasinya,yakni:
1)
Hukum Identitas
p v F ↔ p
p Λ T ↔ p
2)
Hukum null/Dominasi
p Λ
F ↔ F
p v T ↔ T
3)
Hukum Negasi
p v ~p ↔ T
p Λ ~p ↔ F
4)
Hukum Idempoten
p
v p ↔ p
p Λ p ↔
p
5)
Hukum involusi (negasi ganda)
(i) ~ (~p) ↔ p
6)
Hukum Penyerapan
p
v (p Λ q) ↔ p
p Λ (p v q) ↔ p
7)
Hukum Komutatif
p
v q ↔ q v p
p Λ q ↔ q Λ p
8)
Hukum Asosiatif
p v (q v
r) ↔ (p v q) v r
p Λ (q Λ r ) ↔ (p Λ q) Λ r
9)
Hukum Distributif
p v (q Λ
r) ↔ (p v q) Λ (p v r)
p Λ (q v r ) ↔ (p Λ q) v (p Λ r)
10)
Hukum De Morgan
~(p Λ q) ↔ ~p v ~q
~(p v q) ↔ ~p Λ ~q
2. Tabel Kebenaran
Sebenarnya tabel kebenaran ini sudah saya bahas di atas.
Pada bagian ini saya hanya ingin mengulangnya dan menjadikannya menjadi satu
agar mudah untuk dibaca dan dipahami.
|
p
|
q
|
~p
|
p ^ q
|
p v q
|
|
B
|
B
|
S
|
B
|
B
|
|
B
|
S
|
S
|
S
|
B
|
|
S
|
B
|
B
|
S
|
B
|
|
S
|
S
|
B
|
S
|
S
|
Logika proposisi tidak bisa
menggambarkan sebagian besar proposisi dalam matematika dan ilmu komputer.
Sebagai ilustrasi, perhatikan pernyataan berikut:
p : n
adalah bilangan ganjil.
Pernyataan p bukan sebuah proposisi
karena nilai kebenaran p bergantung pada nilai kebenaran n. Sebagai contoh, p
benar jika n=103 dan salah jika n=8. Karena kebanyakan pernyataan dalam
matematika dan ilmu komputer menggunakan peubah(variabel), maka kita harus
mengembangkan sistem logika yang mencakup pernyataan tersebut.
3.
Tautologi,
Kontradiksi dan Ekuivalen
Tautologi
adalah pernyataan mejemuk yang selalu bernilai benar. Contoh pernyataan tautology
adalah:
(p
^ q) => q
Untuk
membuktikan pernyataan diatas adalah tautology, simak table kebenaran untuk tautology
(p ^ q) => berikut :
|
p
|
q
|
p ^ q
|
(p ^ q) =>q
|
|
B
|
B
|
B
|
B
|
|
B
|
S
|
S
|
B
|
|
S
|
B
|
S
|
B
|
|
S
|
S
|
S
|
B
|
Contoh lain
pernyataan tautology adalah :
a.
((p
=> q) ^ (r => q)) => ((p v r) => q
b.
(p
^ ~q) => p
Kontradiksi
adalah
pernyataan majemuk yang selalu bernilai salah. Contoh pernyataan kontradiksi
adalah :
p ^ (~p ^ q)
Tabel kebenaran pernyataan kontradiksi p
^ (~p ^ p)
|
p
|
q
|
~p
|
~p
^ q
|
p ^ (~p ^ q)
|
|
B
|
B
|
S
|
S
|
F
|
|
B
|
S
|
S
|
S
|
F
|
|
S
|
B
|
B
|
B
|
F
|
|
S
|
S
|
B
|
S
|
F
|
Ekuivalen
adalah
dua atau lebih pernyataan majemuk yang memiliki nilai kebenaran yang sama.
Contoh ekuivalen :
~(p v q) ≡ ~p ʌ ~q
tabel kebenaran pernyataan ekuivalen ~(p v q) ≡ ~p ʌ ~q:
|
p
|
q
|
p
v q
|
~(p
v q)
|
~p
|
~q
|
~p ^ ~q
|
|
B
|
B
|
B
|
S
|
S
|
S
|
S
|
|
B
|
S
|
B
|
S
|
S
|
B
|
S
|
|
S
|
B
|
B
|
S
|
B
|
S
|
S
|
|
S
|
S
|
S
|
B
|
B
|
B
|
B
|
Hukum-hukum ekuivalen:
a. Hukum Komutatif
p ʌ q ≡ q ʌ p
p v q ≡ q v p
b. Hukum Distributif
p ʌ (q v r) ≡ (p ʌ q) v (p ʌ r)
p v (q ʌ r) ≡ (p v q) ʌ (p v r)
c. Hukum Asosiatif
(p ʌ q) ʌ r ≡ p ʌ (q ʌ r)
(p v q) v r ≡ p v (q v r)
d. Hukum Identitas
p ʌ T ≡ p
p v F ≡ p
e. Hukum Dominasi / Ikatan
a. Hukum Komutatif
p ʌ q ≡ q ʌ p
p v q ≡ q v p
b. Hukum Distributif
p ʌ (q v r) ≡ (p ʌ q) v (p ʌ r)
p v (q ʌ r) ≡ (p v q) ʌ (p v r)
c. Hukum Asosiatif
(p ʌ q) ʌ r ≡ p ʌ (q ʌ r)
(p v q) v r ≡ p v (q v r)
d. Hukum Identitas
p ʌ T ≡ p
p v F ≡ p
e. Hukum Dominasi / Ikatan
p v T ≡ T
p v F ≡ F
f. Hukum Negasi
p v ~p ≡ T
p ʌ ~p ≡ F
g. Hukum Involusi / Negasi Ganda
~(~p) ≡ p
h. Hukum Idempoten
p ʌ p ≡ p
p v p ≡ p
i. Hukum De Morgan
~( p ʌ q ) ≡ ~p v ~q
~( p v q ) ≡ ~p ʌ ~q
j. Hukum Absorbsi / Penyerapan
p v (p ʌ q) ≡ p
p ʌ (p v q) ≡ p
k. Hukum True dan False
~T ≡ F
~F ≡ T
l. Hukum Perubahan Implikasi menjadi Disjungsi atau Konjungsi.
p => q ≡ ~p v q
f. Hukum Negasi
p v ~p ≡ T
p ʌ ~p ≡ F
g. Hukum Involusi / Negasi Ganda
~(~p) ≡ p
h. Hukum Idempoten
p ʌ p ≡ p
p v p ≡ p
i. Hukum De Morgan
~( p ʌ q ) ≡ ~p v ~q
~( p v q ) ≡ ~p ʌ ~q
j. Hukum Absorbsi / Penyerapan
p v (p ʌ q) ≡ p
p ʌ (p v q) ≡ p
k. Hukum True dan False
~T ≡ F
~F ≡ T
l. Hukum Perubahan Implikasi menjadi Disjungsi atau Konjungsi.
p => q ≡ ~p v q
4.
Aljabar
Proposisi
Hukum-Hukum
Aljabar Proposisi
Setiap proposisi yang saling ekivalen dapat dipertukarkan atau diganti
antara satu dengan yang lainnya. Hukum-hukum aljabar Proposisi adalah sebagai
berikut:
a.
Hukum Idempoten (Idem)
- p∨p ek p
- p∧p ek p
b. Hukum
Asosiatif (As)
- (p∨q)∨r ek p∨(q∨r)
- (p∧q)∧r ek p∧(q∧r)
c. Hukum Komutatif (Kom)
d. Hukum
Distributif (Dist)
- p∨(q∧r) ek (p∨q)∧(p∨r)
- p∧(q∨r) ek (p∧q)∨(p∧r)
e.
Hukum Identitas (Id)
- p∨F ek p
- p∨T ek T
- p∧F ek F
- p∧T ek p
f.
Hukum Komplemen (Komp)
- p∨∼p ek T
- p∧∼p ek F
- ∼(∼p) ek p
- ∼T ek F
g. Hukum
Transposisi (Trans)
·
p⇒q ek ∼q⇒∼p
h. Hukum
Implikasi (Imp)
·
p⇒q ek ∼p∨q
i.
Hukum Ekivalensi (Eki)
- p⇔q ek (p⇒q)∧(q⇒p)
- p⇔q ek (p∧q)∨(∼q∧∼p)
j.
Hukum Eksportasi (Eksp)
·
(p∧q)⇒r ek p⇒(q⇒r)
k. Hukum
De Morgan (DM)
- ∼(p∨q) ek ∼p∧∼q
- ∼(p∧q) ek ∼p∨∼q
5.
Fungsi
Proposisi dan Himpunan Kebenaran
Misalkan P(x) merupakan sebuah pernyataan yang mengandung
variabel x dan D adalah sebuah himpunan (sembarang kumpulan obyek). Kita
menyebut P sebuah fungsi proposisi (dalam D) jika untuk setiap x di D, P(x)
adalah proposisi.
Contoh
:
1.Misalkan
P(n) adalah pernyataan, n adalah bilangan ganjil dan D adalah himpunan bilangan
bulat positif. Maka P adalah fungsi proposisi dengan daerah asal pembicaraan D
karena untuk setiap n di D, P(n) adalah proposisi (yakni, untuk setiap n di D,
P(n) bisa bernilai benar atau salah tetapi tidak keduanya). Jika n=1, dapat
diperoleh proposisi. 1 adalah bilangan ganjil bernilai benar. Jika n=2,
diperoleh proposisi 2 adalah bilangan ganjil bernilai salah.
- Fungsi proposisi “x+2>7” yang didefinisikan pada N, yakni himpunan bilangan asli. Maka {x | x Î N, x+2>7} = {6,7,8,…}adalah himpunan kebenarannya.
6.
Negasi
Ingkaran
Kalimat ingkaran ( Negasi ) adalah suatu pernyataan yang
diperoleh dari suatu pernyataan sebelumnya dan mempunyai nilai kebenaran yang
berlawanan dengan pernyataan sebelumnya.
Beberapa negasi suatu pernyataan dapat dilihat pada table
berikut.
Tabel
nilai kebenaran Negasi :
Contoh
:
Tentukan
ingkaran dari pernyataan berikut, kemudian tentukanlah nilai kebenarannya.
(
1 ) p : Ibukota Jawa Barat adalah Surabaya.
(
2 ) s : 2 + 2 = 5
(
3 ) t : Pinguin adalah Burung
Jawab
:
(
1 ) p : Ibukota Jawa Barat adalah Surabaya.
~p
: Ibukota Jawa Barat Bukan Surabaya.
p
bernilai S ( salah ) dan ~p bernilai B ( benar )
(
2 ) s : 2 + 2 = 5
~s
: 2 + 2 ≠ 5
s
bernilai S ( salah ) dan ~s bernilai B ( benar )
(
3 ) t : Pinguin adalah burung.
~t
: Pinguin bukan burung.
t
bernilai B ( benar ) dan ~t bernilai S ( salah )
REFERENSI
Komentar
Posting Komentar